1. Wavelet Turbulence for Fluid Simulation 논문 세미나 2008.10.02 윤종철

2. 목차 Abstract 1.Introduction 2.Previous Works 3.Procedural Wavelet Turbulence 1.Incompressible, Band-Limited Noise 2.Kolmogorov Wavelet Turbulence 4.High-Resolution Fluid Synthesis 1.Background 2.Injecting Turbulence 3.Detecting Scattering 4.Texture Distortion 5.Final Algorithm 6.Complexity 5.Results 6.Conclusions

3. Abstract 저해상도 VS 고해상도  빠른 속도로 원하는 해상도의 결과를 얻는 것이 목표 빠름 Not detail 느림 detail

4. Abstract High spatial resolution 유체 시뮬레이션을 위한 wavelet method 제안 Post-processing step 으로 디테일을 더함 Linear system 안 풀고, 병렬화 쉽고, 약간 의 보조 array 만 필요 고해상도, 저해상도 독립적으로 편집 가능

5. 1. Introduction Visual simulation of fluids 는 지난 10 년간 Considerable progress but sc alability 와 user interaction 여전히 problem Large-scale phenomena simulation 할 때 memory 사용량 linear increase, 실행 시간 linear increase 보다 더 오래 걸림 => small-scale 유체 detail 을 procedurally 발생 algorithm 제안 detail 잃은 곳에 incompressible turbulence function 으로 다시 생성 velocity field 만 input 으로 필요 보통 fluid solver 로 해상도 높이면 effective viscosity 변해 모션 달라짐 본 논문은 existing structures 유지됨

6. 1. Introduction Contributions An incompressible turbulence function that can generate arbitrary energy spectra A method for estimating the small-scale turbulence that is lost by a simulation, and re-synthesizing it in a way consistent with Kolmogorov theory A method of preserving the temporal coherence of the synthesized turbulence A large- and small-scale fluid detail decoupling that allows the latter to be edited independently

7. 1. Introduction Contributions 임의의 에너지 spectra 를 발생시킬 수 있는 incompressible turbulence function 잃어버린 small-scale turbulence 를 추정하는, 그리고 일관된 Kolmogorove theory 를 사용하여 재합성하는 기법 합성된 turbulence 의 temporal coherence 유지 기법 large- 그리고 small-scale fluid 디테일 독립적으로 편 집 가능

8. 2. Previous Works Adaptive Refinement Octree Graded Tetrahedra [Lossaso et al.2004] [Shi and Yu 2004] [Klingner et al. 2006]

9. 2. Previous Works Dissipation Suppression [Selle et al. 2005] [Kim et al. 2006] [Selle et al. 2008] [Fedkiw et al. 2001] Vortex Methods MacCormack / BFECC

10. 2. Previous Works Turbulence Modeling [Stam and Fiume 1993][Rasmussen et al. 2001]

11. Back ground (Fourier Transform, Wavelet Transform) Fourier Transform 시간축의 파형을 주파수축으로 변환 – 주파수와 위상 크기가 다른 정현파 (sin,cos) 의 조합으로 모든 파형을 만들어 낼 수 있음 -> 모든 파형은 주파수별 위상과 크기가 다른 정현파로 분리됨 –ex) 이퀄라이져 » 음악신호에 들어있는 주파수 성분을 각각 나누어 크기 가시화. 수백 Hz 에서 20khz 까지 순간 주파수대역의 신 호 크기가 디스플레이 – 임의의 파형을 주파수가 다른 정현파들로 분리 시켜 놓은 것이 바로 푸리에 변환

12. Back ground (Fourier Transform, Wavelet Transform) Fourier Transform Wavelet Transform

13. 3. Procedural Wavelet Turbulence

14. Notation –Bold 는 vector, non-bold 는 scalar –x 는 spatial position –k 는 spectral band, u 는 velocity field –Carat 은 wavelet transform – 는 spectral band k 안의 position x 에서 velocity u 의 spectral component –N 큰 grid, n 은 작은 grid

15. 3-1. Incompressible, Band-Limited Noise Wavelet Noise [Cook and DeRose 2005] 사용 [Bridson et al. 2007] 에서 처럼 scalar field 의 Curl 로 divergence-free field 생성

16. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence A velocity field

17. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Frequency Decomposition

18. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Frequency Decomposition

19. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence 한 grid cell x 에서 kinetic energy e 정의 모든 cell 의 e(x) 합은 total energy e t 각 band k 에 대해 e t 를 계산하면 energy spectrum 을 얻음 Kolmogorov theory 의 key results 중에 하나는 turbu lent fluid 의 energy spectrum 이 5/3 power distributi on 에 접근한다는 것 C 와 입실론은 Kolmogorov 상수이고 unit mass 당 에너지 소실률 의미

20. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Noise function w 를 사용하여, 이 power dis tribution 을 생성하는 속도 필드를 procedur ally 만들 수 있음 식 (3) 을 이용하여

21. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence 를 w(x) 로 대체 – i 는 spectral band 를 제어하는데 사용 Discussion : (7) 과 비슷함

22. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Energy Spectrum

23. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Energy Spectrum

24. 3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

27. 4. High-Resolution Fluid Synthesis 4.1 Background 물리적으로 5/3 distribution 은 scattering 때문에 발생 –Forward scattering »Eddy 는 incompressible field 에 의해 advect 되기 때문에 한 방향으로 stretch, 다른 방향으로 compress 되고 결국 이 deformations 는 반짜리 사이즈 두 개의 eddy 로 나뉨 –Back scattering » 작은 eddies 가 큰 eddy 로 combine 될 때 발생 그러나 forward scattering 이 보통 지배적임

28. 4-2. Injecting Turbulence 목표는 저해상도 속도 필드로부터 고해상 도 density field D 를 합성하는 것 : 고해상도 위치 X 에서 u 를 interpolation : U 로 D 를 advection u 에서 가장 작은 eddies 의 energy e t (n/2) 를 계산하여 weight 로 사용

29. 4-2. Injecting Turbulence

32. 4-3. Detecting Scattering Texture Advection [Neyret 2003] texture coordinate 의 set 을 flow 를 따라 advection Texture coordinates 의 Jacobian 을 사용하여 local d eformation 의 양을 계산 Threshold 보다 크거나 작으면 regenerate

33. 4-4. Texture Distortion advect 된 texture coordinates 가 stretch 하 고 rotate 할 때 y 가 incompressibility 를 위배 할 수 있음 Cartesian axes 를 texture space 로 projecti on, directional derivative 를 구하는 것으로 해결

34. 4-5. Final Algorithm

35. 4-6. Complexity 거의 모든 스텝은 smaller n^3 grid 상에서 일어남 큰 grid 는 D, D 는 메모리 사용량이 많아서 약점 -> 파티클 사용하면 D 필요 없음

36. 5. Results

40. 6. Conclusions Add physical detail as post-processing Preserves vortex frequencies Fast, efficient, low memory Relatively simple to implement Limitations Cannot reproduce “correct” high-res solution Obstacle interaction depends on low resolution Vortex advection limited due to regeneration

41. END