1. Advanced Topics in Search Theory 3: Concurrent Search

2. Theme Paper The Economics of Information – George Stigler, 1961

3. שונות מחירים מדוע מוכרים שונים קובעים מחירים שונים לאותו מוצר הומוגני ? שונות המחירים כמדד לחוסר המידע בשוק כאשר יש שונות גדולה במחירים, כדאי לדגום מספר מוכרים

4. דוגמה המוכרים מתחלקים ( באופן שווה ) בין כאלה המבקשים 2$ עבור המוצר וכאלה המבקשים 3$ מהי התפלגות המחיר המינימלי אם דוגמים מספר מוכרים ? 0.75*2+0.25*3 0.875*2+0.125*3

5. Distribution of the Minimum Price f N (x)

6. תוחלת מינימום המחיר דוגמה – uniform distribution P=1 01 f(x) 01 F(x) 1 1

7. תוחלת מינימום המחיר ( המשך ) You can easily check this with Excel… Can you guess what is E N (x) for the maximum of a sample?

8. התועלת שבדגימה נוספת יורד בקצב קטן ( הוכחה על - ידי Robert Solow)

9. עלות החיפוש בד " כ פרופורציונאלית למספר המוכרים שנדגום כמות החיפוש האופטימלית תתקבל על - ידי השוואת הרווח השולי מחיפוש נוסף ועלות החיפוש N cost of search marginal benefit

10. Sequential Search Expected benefit when using sequential search with reservation value: And when searching for minimal price:

11. Sequential Search We also know that V(x*)=x* searching for minimumsearching for maximum

12. איזו שיטה עדיפה ? Take the uniform distribution as an example: – One-sample strategy: overall expected cost: – Sequential search:

13. Comparison Sequential search is always better (why?) Unless what?

14. דוגמה מחירים מתפלגים בצורה אחידה בין 50 ל - 100 ( רציף ) עלות כל מחיר נוסף – 1 דולר 50100 f(x) 0.02 N=5: E_5+5=63.33 N=6: E_6+6=63.14 N=7: E_7+7=63.25

15. E N +N N

16. מתי נעדיף לדגום N בו - זמנית ? מועמד השולח בקשות למספר מוסדות חברה הפונה למספר ספקים לקבל הצעות תהליך הבודק מספר שרתים בו זמנית

17. תוחלת של מקסימום

18. תוחלת של מקסימום ( המשך ) עבור התפלגות אחידה בין 0 ל - 1:

19. Problem 1 You are about to purchase an iPod touch over the internet You estimate the price distribution of the product over the different sellers to be uniform between 200- 300 dollars You can search by yourself, by visiting different web- sites – the cost of time for obtaining a price quote is $1 How will you search? What will be your expected cost? What’s the mean of the number of merchants you’ll visit?

20. Problem 1 (cont.) Alternatively, you can access one of the comparison-shopping web-sites over the internet – Web-site “A” offers you searching 100 web-sites for a total of $10 (average of 10 cent per searched site). – Web-site “B” offers you searching 20 web-sites for a total of $2 (average of 10 cent per searched site)

21. Solution The minimum of a sample of size 100 can be calculated using:

22. Solution (cont.) Calculating the expected minimum: Integration by parts:

23. Solution (cont.) 214.14>200.99+10 So we better take this offer… and here is a simpler way to come up with that: – The minimum of 100 quotes is very close to the 200 lower bound – In fact, we know for the uniform distribution that: 200300 f(x) 0.01 In the 201 vicinity

24. It can become even simpler… In our problem: 01 f(x) 1 200300 f(x) 0.01

25. Solution for web-site B Conclusion: it’s better to use web-site B

26. Problem 1 (cont.) What would be the break-even cost of search c, for which we’ll prefer to search by ourselves?

27. Solution

28. מודל משולב עלות דגימה של N הזדמנויות היא : α+βN ערך דגימה מגיע מהתפלגות g(x) ו - G(x) מינימום המדגם הוא : פונקציית התפלגות המינימום :f N (y) ו - F N (y) תוחלת המינימום : ה - horizon אינסופי

29. אסטרטגיה אופטימלית לאחר קבלת מדגם בגודל N, ניתן : –לסיים החיפוש ולשלם Y N –לבקש מדגם נוסף בגודל N, ולשלם שוב α+βN האסטרטגיה האופטימלית מאופיינת על - ידי הצמד (N*,x*): – N* - גודל המדגם האופטימלי שיש לעבוד לפיו – x* - ה - reservation value בו יש להשתמש שאלה : מדוע N* ו - x* אינם תלויים באיטרציית החיפוש בה אנו מצויים ( כלומר בזמן )?

30. Analysis For fixed (arbitrary) N, V N (x) is the expected search cost (until the search is terminated) using the rule: – Terminate search if Y N ≤x – Resume search otherwise Notice that:

31. Analysis The expected cost is thus: Notice that: (this is very intuitive)

32. Analysis Also notice: 32 Bernoulli trial is an experiment whose outcome is random and can be either of two possible outcomes, "success" and "failure".

33. Analysis

34. Proof:

35. The Quasi-Convex Function

36. Strictly Decreasing Cost Function If V N ‘(x)=0 does not exist over [0,A] then either: – V N (x) is strictly increasing – V N (x) is strictly decreasing From, the sign of V N ‘(x) is determined by, and from the sign is negative

37. Strictly Decreasing Cost Function

38. Proof: For any value x≥A, (why?) Therefore, V N (x) strictly decreases in x if and only if A-V N (A) < 0 which is equivalent to

39. Example – uniform distribution (0.01= , 0.002= , N=3) α+βNα+βN

40. 30 אפריל 2001 התחום בו מצוי הפתרון Solution Algorithm

41. Finding x* What if α, β, N increase?

42. Finding N* The trivial way: – Set N = 1 and calculate V 1 (x)=x 1 Then set N = 2 and calculate V 2 (x)=x 1 and so on. Then choose a sample size N* for which the value of the cost function is minimal – How long should we continue with this? – We know that and Also, clearly: and therefore:

43. Algorithmic approach for N* Proof: Therefore:

44. Similarly: Now, let’s assume and show that: According to the assumption:

45. If (i.e., otherwise): Therefore: ≤

46. however notice that: non-negative, strictly decreasing in k Hence: Which leads to a contradiction! Implication: just check for increasing N values until you see an increase

47. Special cases What is the optimal sample size for α=0? β=0?

49. Calculating the variance

54. Finite Decision Horizon What would be the solution in the “regular” sequential search? For the multi-sample case, the solution via backward induction: – For k=1 (one period remaining) – it’s the one sample problem – For k=2: the decision maker will follow the rule: If then stop; otherwise take an additional sample of N 1 *

55. Finite Decision Horizon