1. Haar Wavelets

2. Contents Introduction The Haar Transform
Conservation and Compaction of Energy
Haar Wavelets
Multiresolution Analysis
Signal Compression
Removing Noise

3. Introduction A haar wavelet : 가장 간단한 type의 wavelet The haar transform
Discrete form of haar wavelets와 관련
모든 wavelet transform의 prototype
손 계산 가능

4. The Haar Transform (1) Analyze될 signals : discrete signals
N: f의 길이로서 positive even integer
f의 값 : N개의 실수
Equally spaced sample values or simply sample values
아날로그 signal g를 등 간격인 시간 t = t1, t2, … , tN 에서 sampling

5. The Haar Transform (2) Haar transform
Discrete signal을 길이가 반인 두개의 subsignal로 분해
Running average (trend)
First trend : a1 = (a1, a2, … , aN/2 )
a1= (f1+f2)/2 * =>
m = 1,2,3,…,N/2
Running difference (fluctuation)
First fluctuation : d1 = (d1, d2, … , dN/2 )
d1=(f1-f2)/2 * =>

6. The Haar Transform (3) The Haar transform : 여러 stages or levels로 수행
첫번째 level 의 mapping H1 :
Inverse of H1 : (a1 | d1) → f
Small fluctuations feature : fluctuation subsignal 값의 크기는 original signal 값의 크기보다 상당히 작다.
의 평균값 : 7
의 평균값 :
6.6배 차이

7. The Haar Transform (4) Small fluctuations feature 로 부터 1024개 값 추출
g가 매우 작은 time 간격을 가진다면,

8. Conservation and Compaction of Energy (1)
Haar transform의 중요한 두가지 properties
Energy conservation of signals
Energy of f : :
1-level haar transform :
Compaction of the energy of signals
Trend :
440/446 ⇒ 98.7%
Fluctuation :
Trend subsignal a1 의 energy가 transformed signal (a1 | d1)의 energy의 많은 부분을 차지함

9. Conservation and Compaction of Energy (2)
Multiple levels transform
Conservation of energy :
Compaction or localization of the energy of f
a2 :
Energy : 90% of f
Length : 1/4
a3 :
Energy : 87.89% of f
Length : 1/8

10. Conservation and Compaction of Energy (3)
Cumulative energy profile :

11. Conservation and Compaction of Energy (4)
수학적 증명으로 보는 energy conservation

12. Haar Wavelets (1) 1-level haar wavelets 성질 각각 energy가 1
평균값 0을 가진 두 값 사이에서 빠른 fluctuation으로 구성
첫번째 haar wavelet 의 짝수 time translation

13. Haar Wavelets (2) Scalar product
첫번째 fluctuation subsignal d1 using haar wavelets :
두번째 fluctuation subsignal d2 using haar wavelets :
1-level haar wavelets 을 가지고 첫번째 fluctuation 표현 가능

14. Haar Wavelets(3) 1-level haar scaling signals
1-level haar scaling signals을 가지고 첫번째 trend 표현 가능 : 성질
각각 energy가 1
두개의 연속적인 time index로 구성된 support를 가짐
첫번째 haar scaling signal 의 짝수 time translation

15. Haar Wavelets(4) 2-level trend 2-level fluctuation
2-level haar scaling signals
2-level trend
2-level haar wavelets
2-level fluctuation

16. Multiresolution Analysis (1)
두 signal 에 대해

17. Multiresolution Analysis (2)
Basic idea of MRA
Signal f : a lower resolution signal(5,5,11,11,7,7,5,5)과 fluctuation signal(-1,1,-1,1,1,-1,0,0)의 합으로 표현
에서 a1 ,a2, …,aN/2 과 d1 ,d2, …, dN/2 분리

18. Multiresolution Analysis (3)
2-level of a MRA of a signal f
k-level of a MRA of a signal f

19. Multiresolution Analysis (4)
10-levels of MRA

20. Signal Compression (1) Audio signal
Method of wavelet transform compression
Signal에 wavelet transform
Thresholding
Transform된 값의 크기를 큰 값부터 정렬
Threshold보다 작은 값은 0
Transmit
Transformed data + significance map (0 or 1)
Inverse wavelet transform

21. Signal Compression (2)
Original signal을 복원하려면 energy의 99.99%이상이 포함되도록 threshold를 선택해야 함
1024 : 51 ≒ 20 : 1 압축 : 410 ≒ 10 : 1 (99.99% 이상이 되려면 2.3 : 1 이상이 되야 함, 즉, 1782개 이상)

22. Removing Noise (1) Contaminated signal = original signal + noise
f = s + n
Random noise만 고려
Noise signal : highly oscillatory, 평균값 위아래로 빠르게 변함
Transform에 의해 original signal은 적은 개수의 높은 에너지로 집약되고 노이즈는 낮은 에너지를 가지게 됨
Threshold method of wavelet denoising
s의 energy 측정 : 대부분의 에너지가 형성되는 threshold Ts > 0 찾음
Noise signal의 transform값을 모두 포함하는 Ts 보다 작은 threshold Tn 값
Tn 값보다 작은 값은 0
Root Mean Square Error (RMS Error)

23. Removing Noise (2)
RMS : > > 0.035