1. 2015 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세 이산수학 (Discrete Mathematics) 관계와 표현 (Relations and Representation)

2. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 2 강의 내용 관계와 속성 (Relation and Its Properties) n- 항 관계 (n-ary Relations) 관계의 표현 (Representing Relations) Relations and Representation

3. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 3 Binary Relations ( 이진 관계 ) Let A, B be any two sets. A binary relation R from A to B, written R:A ↔ B, is a subset of A×B. (A 에서 B 로의 이진 관계 R 은 R:A ↔ B 로 표기하며 A×B 의 부분집합이다.) E.g., let < : N ↔ N : ≡ {(n,m) | n < m} The notation a R b or aRb means (a,b)  R. E.g., a < b means (a,b)  < If aRb, we may say “a is related to b (by relation R).” (aRb 이면, “a 는 ( 관계 R 에 의해서 ) b 에 관계된다 ” 고 말한다.) Relations & Its Properties

4. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 4 Complementary Relations ( 보수 관계 ) Let R:A ↔ B be any binary relation. Then, R:A ↔ B, the complement of R, is the binary relation defined by R : ≡ {(a,b) | (a,b)  R} = (A×B) − R Note the complement of R is R.  <} = {(a,b) | ¬(a<b)} = ≥ Example: < = {(a,b) | (a,b)  <} = {(a,b) | ¬(a<b)} = ≥ Relations & Its Properties

5. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 5 Complementary Relation Example 예제 : A = {0, 1, 2}, B = {a, b} 라 하면, {(0,a), (0,b), (1,a), (2,b)} 는 A 에서 B 로 의 관계 R 로 표현할 수 있다. 이 때, (0,a)  R 이므로, 0Ra 라 할 수 있다. 그러나, (1,b)  R 이므로, 1Rb 라 할 수 있다. Relations & Its Properties

6. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 6 Inverse Relations ( 역 관계 ) Any binary relation R:A ↔ B has an inverse relation R −1 :B ↔ A, defined by R −1 : ≡ {(b,a) | (a,b)  R}. E.g., if R:People ↔ Foods is defined by aRb  a eats b, then: b R −1 a  b is eaten by a. (Passive voice.) (R −1 will be “is eaten by.”) Relations & Its Properties

7. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 7 Relations on a Set A (binary) relation from a set A to itself is called a relation on the set A. ( 집합 A 에서 A 로의 관계를 집합 A 상의 관계라 한다.) E.g., the “<” relation from earlier was defined as a relation on the set N of natural numbers. (“<” 은 정수 집합 N 에 대한 관계이다.) The identity relation I A on a set A is the set {(a,a)|a  A}. ( 집합 A 에 대한 항등 관계 I A 는 집합 {(a,a)|a  A} 를 의미한다.) Relations & Its Properties

8. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 8 Examples of Relations on a Set (1/2) 예제 : A = {1, 2, 3, 4} 라 할 때, 관계 R = {(a,b)| a divides b} 에 속하는 순서쌍은 ? A x A 의 원소인 (a,b) 에 있어서 b 를 a 로 나눌 수 있는 순서쌍을 구한다. 즉, R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)} 이다. Relations & Its Properties

9. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 9 Examples of Relations on a Set (2/2) 예제 : n 개의 원소를 갖는 집합에는 몇 개의 관계가 있는가 ? 정의에 의해, 집합 A 에 대한 관계는 A x A 의 부분집합이다. A x A 의 원소 개수는 n 2 이다. 또한, m 개의 원소를 가지는 집합의 부분집합 개수는 2 m 개 이다. 그러므로, A x A 의 부분집합 개수는 이 된다. 결국, n 개 원소를 갖는 집합에 대한 가능한 관계의 수는 이다. Relations & Its Properties

10. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 10 Reflexivity ( 반사성 ) A relation R on A is reflexive if  a  A, aRa. E.g., the relation ≥ : ≡ {(a,b) | a≥b} is reflexive. 즉, (a,a) 를 원소로 가지면 반사적 (reflexive) 이라고 이야기한다. A relation is irreflexive iff its complementary relation is reflexive. ( 역관계가 반사이면, 해당 관계는 비반사이다 ) Example: < is irreflexive. Relations & Its Properties

11. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 11 Reflexivity Example 예제 : 양의 정수 집합에 대해 “ 나누다 ” 관계는 반사적인가 ? 임의의 양의 정수 a 에 대해 a|a 가 성립한다. 즉, 양의 정수 a 는 자기 자신 a 로 나누어 떨어진다. 따라서, “ 나누다 ” 는 양의 정수 집합에 대해 반사적이다. Relations & Its Properties

12. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 12 Symmetry & Antisymmetry ( 대칭성 ) A binary relation R on A is symmetric iff R = R −1, that is, if (a,b)  R ↔ (b,a)  R. E.g., = (equality) is symmetric. < is not. “is married to” is symmetric, but “likes” is not. 즉, (a,b) 가 R 의 원소일 때, 반드시 (b,a) 도 원소이면 대칭적이라 한다. A binary relation R is antisymmetric if (a,b)  R → (b,a)  R. < is antisymmetric, “likes” is also antisymmetric. Relations & Its Properties

13. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 13 Symmetry & Antisymmetry Example 예제 : 양의 정수 집합에 대한 “ 나누다 ” 관계는 대칭인가 ? 반대칭인가 ? 반례 (counterexample) 를 들어 반대칭임을 보인다. 즉, 1|2 이지만 2|1 이므로, 반대칭이다. Relations & Its Properties

14. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 14 Transitivity ( 전이성 ) A relation R is transitive iff (for all a,b,c) (a,b)  R  (b,c)  R → (a,c)  R. A relation is intransitive if it is not transitive. Examples: “is an ancestor of” is transitive. “likes” is intransitive. Relations & Its Properties

15. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 15 Transitivity Example 예제 : 양의 정수 집합에 대한 “ 나누다 ” 관계가 전이적인가 ? 양의 정수 a, b, c 에 대해서, a 가 b 를 나누고, b 가 c 를 나눈다고 하자. 즉, a|b, b|c 가 성립한다고 가정하자. 그러면, b = ak, c = bl 인 양의 정수 k 와 l 이 있다. 따라서, c = a(kl) 이 성립하므로, a 는 c 를 나눌 수 있다. 즉, a|c 가 성립하므로, “ 나누다 ” 는 전이적이다. Relations & Its Properties

16. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 16 Composite Relations ( 관계 합성 / 결합 ) Let R:A ↔ B, and S:B ↔ C. Then the composite S  R of R and S is defined as: S  R = {(a,c) |  b: aRb  bSc} ((a,b)  R 이고 (b,c)  S 이면, S  R 은 (a,c) 을 원소로 하는 관계이다.) Note function composition f  g is an example. The n th power R n of a relation R on a set A (A 에 대한 관계 R 의 n 제곱 ) can be defined recursively by: R 0 : ≡ I A ;R n+1 : ≡ R n  R for all n≥0. Relations & Its Properties

17. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 17 Examples of Composite Relations (1/2) 예제 : {1, 2, 3} 에서 {1, 2, 3, 4} 로의 관계 R = {(1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4)} 과, {1, 2, 3, 4} 에서 {0, 1, 2} 로의 관계 S = {(1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1)} 가 있을 때, R 과 S 의 합성 S  R 은 ? S  R 의 구성을 위해서는, R 에 속한 순서쌍의 두 번째 원소와 S 에 속한 순서쌍의 첫 번째 원소가 같은 것을 찾으면 된다. 예를 들어, R 의 (2,3) 과 S 의 (3,1) 을 바탕으로 S  R 의 순서쌍 (2,1) 을 만 든다. 결국, S  R = {(1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)} 이 된다. Relations & Its Properties

18. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 18 Examples of Composite Relations (2/2) 예제 : R = {(1,1), (2,1), (3,2), (4,3)} 이라 하자. n = 2, 3, 4, … 일 때, 거듭 제곱 R n 을 구하라. R 2 = R  R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,2)} R 3 = R 2  R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)} R 4 = R 3  R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)} … R n = R n-1  R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)} You can get R n using “induction.” Relations & Its Properties

19. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 19 강의 내용 관계와 속성 (Relation and Its Properties) n- 항 관계 (n-ary Relations) 관계의 표현 (Representing Relations) Relations and Representation

20. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 20 n-ary Relations (n- 항 관계 ) An n-ary relation R on sets A 1,…,A n, written R:A 1,…,A n, is a subset R  A 1 × … × A n. (A 1,…,A n 에 대한 n- 항 관계 R 은 A 1 × … × A n 의 부분집합이다.) The sets A i are called the domains of R. (A i 를 R 의 정의역이라 한다.) The degree of R is n. ( 관계 R 의 차수는 n 이다.) n-ary Relations

21. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 21 Relational Databases ( 관계형 DB) A relational database is essentially an n-ary relation R. ( 관계형 데이터베이스란 n- 항 관계 R 을 의미한다.) A domain A i is a primary key for the database if the relation R contains at most one n-tuple (…, a i, …) for any value a i within A i. ( 만일 R 이 ( 정의역 A i 에 포함된 ) a i 에 대해서 기껏해야 하나의 n- 항 튜플 (…, a i, …) 를 포함하면, A i 는 기본 키라 한다.) ( 다시 말해서, a i 값을 가지는 n- 항 튜플이 유일하면 A i 를 키본 키라 한다.) A composite key for the database is a set of domains {A i, A j, …} such that R contains at most 1 n-tuple (…,a i,…,a j,…) for each composite value (a i, a j,…)  A i ×A j ×… n-ary Relations

22. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 22 Primary Key 예제 예제 : ( 새로운 튜플이 추가되지 않는다고 할 때,) 다음 테이블에서 어떤 정의역이 기본 키인가 ? Student_nameID_numberMajorGPA Ackermann 231455 Computer Science3.88 Adams 888323 Physics3.45 Chou 102147 Computer Science3.49 Goodfriend 453876 Mathematics3.45 Rao 678543 Mathematics3.90 Stevens 786576 Psychology2.99 Student_name 은 키본 키이다. ( 유일하게 구분 짓는다.) 마찬가지로, ID_number 또한 기본 키이다. 반면에, Major 나 GPA 는 기본 키가 아니다. n-ary Relations

23. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 23 Composite Key 예제 예제 : ( 새로운 튜플이 추가되지 않는다고 할 때,) 다음 테이블에서 {Major, GPA} 는 합성 키인가 ? Student_nameID_numberMajorGPA Ackermann 231455 Computer Science3.88 Adams 888323 Physics3.45 Chou 102147 Computer Science3.49 Goodfriend 453876 Mathematics3.45 Rao 678543 Mathematics3.90 Stevens 786576 Psychology2.99 Major 와 GPA 를 조합하여 사용하면 튜플을 유일하게 구분 지을 수 있으므로, {Major, GPA} 는 상기 테이블의 합성 키이다. n-ary Relations

24. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 24 Selection Operator (  ) Let A be any n-ary domain A=A 1 ×…×A n, and let P:A → {T,F} be any predicate on elements of A. (A 를 n- 항 관계의 정의역이라 하고, P 를 A 에서 {T,F} 로의 술어라 하자.) Then, the selection operator  p is the operator that maps any (n-ary) relation R on A to the n-ary relation of all n- tuples from R that satisfy P. ( 셀렉션 연산자  p 은 관계 R 의 n- 튜플 중에서 술어 P 를 만족하는 튜플들의 관계 로 정의한다.) I.e.,  R  A,  p (R) = R  {a  A | P(a) = T} n-ary Relations

25. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 25 Selection Example Suppose we have a domain A = StudentName × Level × SocSecNos Suppose we define a certain predicate on A, UpperLevel(name, level, ssn) : ≡ [(level = junior)  (level = senior)] Then,  UpperLevel is the selection operator that takes any relation R on A (database of students) and produces a relation consisting of just the upper-level classes (juniors and seniors). That is,  (level = junior)  (level = senior) (R) Student_nameID_numberMajorGPA Ackermann 231455 Computer Science3.88 Adams 888323 Physics3.45 Chou 102147 Computer Science3.49 Goodfriend 453876 Mathematics3.45 Rao 678543 Mathematics3.90 Stevens 786576 Psychology2.99 n-ary Relations

26. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 26 Projection Operator (  ) Let A = A 1 ×…×A n be any n-ary domain, and let {i k }=(i 1,…,i m ) be a sequence of indexes, That is, where 1 ≤ i k ≤ n for all 1 ≤ k ≤ m. Then the projection operator  on n-tuples is defined by: Student_nameID_numberMajorGPA Ackermann 231455 Computer Science3.88 Adams 888323 Physics3.45 Chou 102147 Computer Science3.49 Goodfriend 453876 Mathematics3.45 Rao 678543 Mathematics3.90 Stevens 786576 Psychology2.99 n-ary Relations

27. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 27 Projection Example Suppose we have a ternary (3-ary) domain Cars = Model×Year×Color. (note n=3). Consider the index sequence {i k }= 1,3. (m=2) Then the projection  simply maps each tuple (a 1,a 2,a 3 ) = (model,year,color) to its image: Student_nameID_numberMajorGPA Ackermann 231455 Computer Science3.88 Adams 888323 Physics3.45 Chou 102147 Computer Science3.49 Goodfriend 453876 Mathematics3.45 Rao 678543 Mathematics3.90 Stevens 786576 Psychology2.99 n-ary Relations

28. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 28 (Natural) Join Operator ( ) Puts two relations together to form a sort of combined relation. ( 관계를 합성하는 한 가지 방법 ) If the tuple (A,B) appears in R 1, and the tuple (B,C) appears in R 2, then the tuple (A,B,C) appears in the join R 1 R 2. A, B, C can also be sequences of elements rather than single elements. n-ary Relations

29. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 29 (Natural) Join Example Suppose R 1 is a teaching assignment table, relating Professors to Courses. ((Professor, Courses) 로 구성된 관계 ) Suppose R 2 is a room assignment table relating Courses to Rooms,Times. ((Courses, Rooms, Times) 로 구성된 관계 ) Then R 1 R 2 is like your class schedule, listing (professor,course,room,time). n-ary Relations

30. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 30 강의 내용 관계와 속성 (Relation and Its Properties) n- 항 관계 (n-ary Relations) 관계의 표현 (Representing Relations) Relations and Representation

31. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 31 Representing Relations Some ways to represent n-ary relations: With an explicit list or table of its tuples. With a function, or with an algorithm for computing this function. Some special ways to represent binary relations: With a zero-one matrix. With a directed graph. Representing Relations

32. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 32 Using Zero-One Matrices To represent a relation R by a matrix M R = [m ij ], let m ij = 1 if (a i,b j )  R, else 0. E.g., Joe likes Susan and Mary, Fred likes Mary, and Mark likes Sally. The 0-1 matrix representation of that “Likes” relation: Representing Relations

33. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 33 Zero-One Reflexive, Symmetric (1/2) Terms: Reflexive, irreflexive, symmetric, and antisymmetric. These relation characteristics are very easy to recognize by inspection of the zero-one matrix. Reflexive: all 1’s on diagonal Irreflexive: all 0’s on diagonal any- thing Representing Relations

34. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 34 Zero-One Reflexive, Symmetric (2/2) Symmetric: all identical across diagonal Antisymmetric: all 1’s are across from 0’s anything Representing Relations

35. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 35 Using Directed Graphs (1/2) A directed graph or digraph G=(V G,E G ) is a set V G of vertices (nodes) with a set E G  V G ×V G of edges (arcs,links). ( 관계는 노드 ( 꼭지점 ) 의 집합 V 와 에지 ( 링크 ) 의 집합 E 로 표현되는 방향성 그래 프로 나타낼 수 있다.) Visually represented using dots for nodes, and arrows for edges. Notice that a relation R:A ↔ B can be represented as a graph G R =(V G =A  B, E G =R). ( 일반적으로, 노드는 점으로, 에지는 화살표로 표현한다.) Representing Relations

36. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 36 Using Directed Graphs (2/2) MRMR GRGR Joe Fred Mark Susan Mary Sally Node set V G (black dots) Edge set E G (blue arrows) Representing Relations

37. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 37 Digraph Reflexive, Symmetric It is extremely easy to recognize the reflexive/irreflexive/ symmetric/antisymmetric properties by graph inspection.       Reflexive: Every node has a self-loop Irreflexive: No node links to itself Symmetric: Every link is bidirectional   Antisymmetric: No link is bidirectional    Asymmetric, non-antisymmetricNon-reflexive, non-irreflexive Representing Relations

38. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 38 강의 내용 관계와 속성 (Relation and Its Properties) n- 항 관계 (n-ary Relations) 관계의 표현 (Representing Relations) Relations and Representation

39. Discrete Mathematics by Yang-Sae Moon Page 39 Homework #7 Representing Relations