1. 综合性问题 距离和角度的度量 画法几何及机械制图 精品资源共享课 换面法应用 工程图学教研室

2. 工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、面 的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的综 合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满足 几个条件。 解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实 现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何 模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确 定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。 综合性问题解法举例 综合性问题解法 距离和角度的度量

3. 过点 K 作直线与平面 △ CDE 平行，并与直线 AB 相交 综合性问题解法举例 解题方案一 ( 空间分析 ) ： 空间分析 在 V/H 投影体系中直接解题 应用换面法解题 解题方案二（空间分析）：空间分析 在 V/H 投影体系中直接解题 应用换面法解题 试过定点 A 作直线与已知直线 EF 正交 在 V/H 投影体系中直接解题 应用换面法解题 矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 MC 上，画出它的 V 、 H 面投影 过线段 AB 作一平面垂直于平面 △ DEF

4. 距离的度量 1. 点到点之间的距离 点到点之间的距离 2. 点到直线之间的距离 点到直线之间的距离 4. 两交叉直线之间的距离 两交叉直线之间的距离 5. 点到平面之间的距离 点到平面之间的距离 6. 直线到平面之间的距离 直线到平面之间的距离 3. 两平行直线之间的距离 两平行直线之间的距离 角度的度量 1. 两相交直线之间的夹角 两相交直线之间的夹角 2. 直线与平面间的夹角 直线与平面间的夹角 3. 两平面间的夹角 两平面间的夹角 7. 平面到平面之间的距离 平面到平面之间的距离

5. 1. 点到点之间的距离 中途返回请按 “ ESC ” 键

6. 2. 点到直线之间的距离 中途返回请按 “ ESC ” 键

7. 3. 两平行直线之间的距离 中途返回请按 “ ESC ” 键 求两平行直线 AB 和 CD 之间的距离 在 V/H 投影体系中直接解题 应用换面法在 H/V 1 体系或 V 1 /H 2 体系中解题 应用换面法在 V 1 /H 2 体系中解 题

8. 4. 两交叉直线之间的距离 在 V/H 投影体系中直接解题 应用换面法解题 求两交叉直线 AB 和 CD 的距离，并定出它们的公垂线的位 置 中途返回请按 “ ESC ” 键 距离

9. 5. 点到平面之间的距离 平行四边形 ABCD 给定一平面，试求点 S 至该平面的距 离 中途返回请按 “ ESC ” 键

10. 6. 直线到平行平面 过直线上任一点 作平面的垂线.. 中途返回请按 “ ESC ” 键

11. 两相交直线之间的夹角 实形 实角 中途返回请按 “ ESC ” 键

12. 直线与平面间的夹角 求直线 HG 与平面的夹角，平面由四边形 ABCD 给 定 求直线 AB 与平面 DEF 之间的夹角 θ 中途返回请按 “ ESC ” 键

13. 两平面间的夹角 求△ ABC 与△ ABD 之间的夹角 中途返回请按 “ ESC ” 键 实角

14. 本章结束

15. 投影图： ABC 实形. 中途返回请按 “ ESC ” 键

16. 更换水平投影面 中途返回请按 “ ESC ” 键

17. 旋转轴的确定 中途返回请按 “ ESC ” 键

18. 一次变换可将投影面平行线变为投影面垂直线.. 垂直 动 画动 画 中途返回请按 “ ESC ” 键

19. 直线绕正垂轴旋转 中途返回请按 “ ESC ” 键

20. 解题方案一： 解题思路： 3. 连 KS 即为所求 1. 过点 K 作平面 P 平行于△ CDE 2. 求直线 AB 与平面 P 的交点 S 例 4 ：过点 K 作直线与平面 △ CDE 平行，并与直线 AB 相交 中途返回请按 “ ESC ” 键

21. 解题方案二： 解题思路： 3. 过点 K 作 MN 的平行线 KS 即为所求 1. 作平面 KAB 2. 求作平面 KAB 与平面 DEF 的交线 MN 例 4 ：过点 K 作直线与平面 △ CDE 平行，并与直线 AB 相交 中途返回请按 “ ESC ” 键

22. 空间分析： 解题思路： 3. 连 AK 即为所求 1. 过点 A 作直线 EF 的垂面 AI II 2. 求直线 EF 与垂面 AI II 的交点 K 例 5 ：试过定点 A 作直线与已知直线 EF 正交 中途返回请按 “ ESC ” 键

23. 空间分析： 解题思路： 2. 两相交直线 BC 、 AB 确定的平面即为所求 1. 过直线 AB 上任一点 B 作平面 DEF 的垂线 例 7 ：过线段 AB 作一平面垂直于平面 DEF 中途返回请按 “ ESC ” 键

24. 空间分析： 解题思路： 3. 过垂足 N 作直线 EF 平行于直线 AB, 交直线 CD 于点 S 2. 过直线 AB 上任一点 M 作平面 P 的垂线，求出垂足 N 例 9 求两交叉直线 AB 和 CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 1. 含直线 CD 作平面 P 平行于 AB 4. 过点 S 作直线 ST 平行于直线 MN, ST 即为所求 中途返回请按 “ ESC ” 键

25. 空间分析： 解题思路： 2. 在新投影面 H 2 上直接求作距离的投影即反映实长 例 9 求两交叉直线 AB 和 CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 1. 将两直线之一变换为投影面垂直线 中途返回请按 “ ESC ” 键

26. 解题思路： 例 11 求直线 HG 与平面的夹角，平面由四边形 ABCD 给定 1. 过点 H 作平面 ABCD 的垂线 2. 作直线 EF ，求出 HEF 的实 形，得 3. 求 的余角 中途返回请按 “ ESC ” 键

27. 解题思路： 例 12 求直线 AB 与平面 DEF 之间的夹角 θ 经 3 次变换投影面，在 V 3 投影面中求作角 中途返回请按 “ ESC ” 键

28. 解题思路： 例 13 求两平面之间的夹角 将两平面的交线变换为新投影面垂直线，则反映角 实形 中途返回请按 “ ESC ” 键

29. 例 1 求 △ ABC 和 △ ABD 两平面之间的夹角 中途返回请按 “ ESC ” 键

30. 例 4 过点 K 作直线与平面 △ CDE 平行，并与直线 AB 相 交 解题步骤： 空间分析 3. 连 KS 即为所求 1. 过点 K 作平面 KFG 平行于 △ CDE 2. 求直线 AB 与平面 KFG 的交点 S —— 在 V/H 投影体系中直接解题： 解题方案一解题方案一 中途返回请按 “ ESC ” 键

31. 例 4 过点 K 作直线与平面 △ CDE 平行，并与直线 AB 相交. 解题步骤： 5. 连 k 1 ’s 1 ’ 3. 过 k 1 ’ 作平面 Q 平行于 c 1 ’d 1 ’e 1 ’ 4. 求 a 1 ’b 1 ’ 与平面 Q 的交点 s 1 ’ —— 应用换面法在 H/V 1 体系中解题： 2. 直线 AB 、点 K 随之变换 6. 将 k 1 ’s 1 ’ 返 回原体系 1. 将 △ CDE 变换 为新投影面的 垂直面 解题方案一解题方案一 中途返回请按 “ ESC ” 键

32. 例 4 过点 K 作直线与平面 △ CDE 平行，并与直线 AB 相 交 —— 在 V/H 投影体系中直接解题： 解题方案二解题方案二 空间分析 解题步骤： 1. 作 △ KAB 2. 求 △ KAB 与 △ DEF 的交 线 MN 3. 过点 K 作直 线 MN 的平 行线 KS 中途返回请按 “ ESC ” 键

33. 例 4 过点 K 作直线与平面 △ CDE 平行，并与直线 AB 相 交 解题方案二解题方案二 —— 应用换面法在 V/H 1 体系中解题： 解题步骤： 1. 作 △ KAB 2. 换面法求 △ KAB 与 △ DEF 的交 线 MN 3. 过点 K 作直线 MN 的平行线 KS 中途返回请按 “ ESC ” 键

34. 例 5 试过定点 A 作直线与已知直线 EF 正交 解题步骤： 3. 连 KA 即为所求 1. 过点 A 作直线 EF 的垂面 2. 求直线 EF 与所作 垂面 AI II 的交点 K.. 空间分析 —— 在 V/H 投影体系中直接解题： 中途返回请按 “ ESC ” 键

35. 例 5 试过定点 A 作直线与已知直线 EF 正交 解题步骤 ： 3. 过 a 1 ’ 作 e 1 ’ f 1 ’ 的 垂线, 得 k 1 ’ 2. 点 A 随之变换 4. 将 k 1 ’a 1 ’ 返回原 体系 1. 将直线 EF 变换 为新投影面的 平行线 —— 应用换面法在 H/V 1 体系中解题： 中途返回请按 “ ESC ” 键

36. 例 6 矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 MC 上，画出它的 V 、 H 面投 影 解题步骤 ： 3. 过 a 1 ’ 作 m 1 ’ c 1 ’ 的垂线 ( 面 ), 得b1’得b1’ 2. 点 A 随之变换 4. 将 a 1 ’ b 1 ’ 返回原体系 1. 将直线 MC 变换为新投 影面的平行线 5. 依对边平行作 出另两条边 空间分析 ： 中途返回请按 “ ESC ” 键

37. 例 7 过线段 AB 作一平面垂直于平面 DEF 平行 解题步骤： 5. 将 b 1 ’ c 1 ’ 返回原体系 4. 求作 bc(//X 1 轴 ) 2. 直线 AB 随之变 换 1. 将△ DEF 变换 为新投影面的 垂直面 3. 过 a 1 ’ b 1 ’ 上任一 点作 d 1 ’ e 1 ’ f 1 ’ 的 垂线得 c 1 ’ 空间分析 中途返回请按 “ ESC ” 键

38. 例 8 求两平行直线 AB 和 CD 之间的距 离 实长 —— 在 V/H 投影体系中直接解题： 解题步骤： 4. 求作 EF 的实长 2. 求直线 CD 与所 作垂面的交点 F 3. 连 e ’ f ’ 、 ef 即为 所求距离的投影 1. 过一条直线 AB 上任一点 E 作另 一条直线 CD 的 垂面 中途返回请按 “ ESC ” 键

39. 例 8 求两平行直线 AB 和 CD 之间的距 离. ⊿Z⊿Z —— 应用换面法在 H/V 1 体系中解题： —— 应用换面法在 V 1 /H 2 体系中解题： 解题步骤： 3. 求作 EF 的实长 2. 求两直线的公垂线 EF 1. 将两已知平行直线变 换为投影面平行线 解题步骤： 2.e 2 f 2 即反映 EF 的实长 实长 1. 接上一步，将两已知 平行直线变换为投影 面垂直线 中途返回请按 “ ESC ” 键

40. 例 8 求两平行直线 AB 和 CD 之间的距 离 实长 —— 应用换面法在 V 1 /H 2 体系中解题： 解题步骤： 2. 求作 EF 的 实长 1. 将两已知 平行直线 构成的平 面经两次 变换，变 成投影面 平行面 中途返回请按 “ ESC ” 键

41. 例 9 求两交叉直线 AB 和 CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 解题步骤： 空间分析 —— 在 V/H 投影体系中直接解题： 直线 AB, 交 CD 于点 S 3. 过垂足 N 作直线 EF 平行于 面 CDG 的垂线,N 为垂足 2. 过直线 AB 上任一点 M 作平 1. 过直线 CD 上任一点 C 作直 线 CG 平行于 AB, 连 DG 交直线 AB 于点 T,ST 即为 4. 过点 S 作直线 MN 的平行线, 所求 中途返回请按 “ ESC ” 键

42. 例 9 求两交叉直线 AB 和 CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 解题步骤： 3. 将 s 2 t 2 返回原体系 ST 的投影 s 2 t 2 2. 在投影面 H 2 中作公垂线 空间分析 —— 应用换面法解题： 1. 将两已知直线之一 CD 变 换为投影面垂直线, 直线 AB 随之变换 中途返回请按 “ ESC ” 键 距离实长

43. 例 10 平行四边形 ABCD 给定一平面，试求点 S 至该平面的距 离. 解题步骤 ： 3. 过 S 作 ABCD 的垂线, s 1 ’ k 1 ’ 即为所求 2. 点 S 随之变换 1. 将平面 ABCD 变换为新投 影面的垂直面 空间分析 ： 距离 中途返回请按 “ ESC ” 键 距离实长

44. 例 11 求直线 HG 与平面的夹角，平面由四边形 ABCD 给 定 垂直 空间分析 中途返回请按 “ ESC ” 键 即为所求

45. 例 12 求直线 AB 与平面 DEF 之间的夹角 θ 空间分析 中途返回请按 “ ESC ” 键

46. 例 13 求 △ ABC 与 △ ABD 之间的夹角 空间分析 解题步骤 ： 2. 两平面 随之变换 1. 将交线 AB 变换为新投 影面的垂直线 3. 角 即为所求 中途返回请按 “ ESC ” 键

47. 换面法的基本概念

48. 点的一次变换 V 1 /H

49. 点的一次变换 V/H 1

50. 点的二次变换

51. 把一般位置直线变为投影面平行线

52. 把一般位置直线变为投影面垂直线

53. 把一般位置平面变为投影面垂直面

54. 把投影面平行线变为投影面垂直线

55. 7. 两平行平面之间的距离 过一平面上任一点 作另一平面的垂线 中途返回请按 “ ESC ” 键