1. 第四章 不定积分

2. 二、 第二类换元积分法 一、 第一类换元积分法 4.2 换元积分法

3. 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 可导, 则有

4. 一、第一类换元积分法 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程令

5. 定理 1 如果 ( 也称配元法 即, 凑微分法 ) 存在，且，则有

6. 例 1 求 解：

7. 例 2 求 解：解：

8. 例 3 求 解:解: 类似

9. 例 4 求 解:解: 令 则 想到公式

10. 例5 求例5 求 解:解: ∴ 原式 =

11. 常用的几种配元形式 : 万能凑幂法万能凑幂法

12. 例 6 求 解 : 原式 =

13. 例 7 求 解 : 原式 = 例 8 求 解:解:

14. 例 9 求 解:解:

15. 例 10 求 解：（一） （使用了三角函数恒等变形）

16. 解：（二） 类似地可推出

17. 解：解： 例 11 设 求. 令

18. 小结 常用简化技巧 : (1) 分项积分 : (2) 降低幂次 : (3) 统一函数 : 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 利用积化和差 ; 分式分项 ; 利用倍角公式, 如

19. 二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法. 难求，

20. 例 12 求 解: 令解: 令则

21. ∴ 原式

22. 例 13 求 解:解: 令 则

23. ∴ 原式

24. 例 14 求 解：解：令

25. 说明： 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令

26. 例 15 求 解：解： 令

27. 说明： (4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例 16 求 令 解：

28. 小结 : 1. 第二类换元法常见类型 : 令 令 令 或 令 或 令 或

29. 2. 常用基本积分公式的补充 (P112) 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令