1. The Stern-Gerlach Experiment 1

2. The Stern-Gerlach Experiment (SGE) is performed in 1921, to see if electron has an intrinsic magnetic moment. A beam of hot (neutral) Silver ( 47 Ag) atoms was used. The beam is passed through an inhomogeneous magnetic field along z axis. This field would interact with the magnetic dipole moment of the atom, if any, and deflect it. Finally, the beam strikes a photographic plate to measure, if any, deflection. 2

3. Why Neutral Silver atom? –No Lorentz force (F = qv x B) acts on a neutral atom, since the total charge (q) of the atom is zero. –Only the magnetic moment of the atom interacts with the external magnetic field. –Electronic configuration: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 1 4p 6 4d 10 5s 1 So, a neutral Ag atom has zero total orbital momentum. –Therefore, if the electron at 5s orbital has a magnetic moment, one can measure it. Why inhomogenous magnetic Field? –In a homogeneous field, each magnetic moment experience only a torque and no deflecting force. –An inhomogeneous field produces a deflecting force on any magnetic moments that are present in the beam. 3

4. Spin we are going to try to understand the spin of the electron. First we need to review the interaction of magnetic moments with a magnetic field The electron happens to have a magnetic moment which we will assume comes from the spin. We are going to try to understand what causes this. For the moment we will picture a magnetic moment as a loop of current I with a side L and area A like so: Now A=L 2 and the magnetic moment  =IA. There is also a magnetic field B pointing out of the page. The potential energy of the loop is A I B 4

5. We want to figure out some way to figure out which way the spin is pointing – so if we could make a force which depends on the direction of spin – this would do it. 5

6. So can we make a magnetic field which has a changing z component in the z direction i.e. a dB z /dz? We can. We shape our pole tips as follows where the field lines are in red. We remember that the strength of the B field is proportional to the density of lines. The density is highest near the bottom pointed tip so the field gets stronger toward the bottom and dB z /dz points downward higher B lower B dB z /dzNow since and  and s point in opposite directions (the electron is negatively charged) then if  z > 0 (s z <0) so F z is  if  z 0) so F z is  N S Basically the force on the electron is proportional to the component of the spin in the z direction 6

7. In the real experiment, an electron beam was not used. It was a Silver beam. Silver has one outer electron with an angular momentum of L=0. So the entire electron’s magnetic moment is due to the spin of the outer electron. But for us, lets think of electrons. We set the experiment up as follows, and then look to see what pattern we see on the screen dB z /dz screen Beam of “electrons” N S 7

8. what might we expect? Classically you might expect one wide spread reflecting the fact that the spin is randomly pointed and hence the z component of the magnetic momentum is spread around. Note that this initially random direction in like a ball in 4  what do we really see? electrons N S spin direction +z In reality, the beam is split neatly in half, as if the beam was initially ONLY pointed either in the +z or –z direction. electrons N S spin direction 8

9. +z So remember SGx will put a force in the z direction on the component of the spin in the x direction. Similarly for y and z N S SGx, y or z electrons I will represent the apparatus as a box so we can have a box which is labeled SGx, SGy, and SGz which push on the various components of  9

10. N S SGx electrons Now lets try putting it through an SGx apparatus +z y x N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGz Now lets try using two SG apparatus. We use an SGz and then block off the bottom “-” component before we let it go through the second. Not surprisingly only the top bump is present. There is no SGz- compontent. It looks like once its “+z” it always stays “+z” SGz+ we see that it still spits in two as if the spin were either in the +x or –x direction ! Maybe somehow the electrons “guess” which direction the apparatus is set and align themselves accordingly SGx+ SGX- 10

11. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Now supposing we do the same thing, but this time, instead of “testing” the second beam with SGz lets test it with SGx. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx The +z beam, when passed through as SGX filter, gives both a +x and -x components, but note that the intensity is less! Its as if the SGz+ beam was made up of a combination of a +x and –x components SGx+ SGx- 11

12. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx How about it we try the same with a –z? N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx The -z beam, when passed through an SGX filter, also gives both a +x and -x components! SGx+ SGx- 12

13. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Block N S SGz Now lets try using SGx to split up a SGz+ beam up into + and – x components and then test this to see if there is a –z component. Note this is exactly like the situation before where we used two SGz filters but we have added and extra SGx in between. We seem to get the –z component back again. Its like the SGx filter has regenerated the SGz- back. SGx- SGx+ N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Block N S SGz SGx+ SGx- SGz+ SGz- This rather odd situation where a component of the beam is regenerated, is reminiscent of polarized light where we are able to make a set of two perpendicular polarizers pass some light through by adding a third on at 45  in between 13

14. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGy Now we remember there was also a SGy polarizer. Lets use it. When we pass an SGz+ beam thorough an SGy filter we again see two components. SGy+ SGy- 14

15. electrons N S spin direction +z N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Block N S SGz SGx+ SGx- SGz+ SGz- 15

16. N S SGx electrons Now lets try putting it through an SGx apparatus +z y x SGx+ SGX- N S SGz N S SGz SGz+ SGz- Block SGz+ 16

17. N S SGz SGz+ SGz- N S SGy electrons N S spin direction +z Block SG? 17

18. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Block N S SGz SGx+ SGx- SGz+ SGz- Block A |a i  Block B C |b j  |c k  Block 18

19. A |a i  Block C |c k  Block 19

20. 20

21. 21

22. 22

23. 23

24. 24

25. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Block N S SGz SGx+ SGx- SGz+ SGz- This rather odd situation where a component of the beam is regenerated, is reminiscent of polarized light where we are able to make a set of two perpendicular polarizers pass some light through by adding a third on at 45  in between 25

26. سوال: چگونه میتوان حالت را توصیف کرد؟ بدلیل تقارن، این حالت نیز باید ترکیب خطی مانند رابطه فوق باشد. اما چگونه؟! نور قطبیده راستگرد 26

27. 27

28. نتیجه؟ فضای برداری دو بعدی مورد نیاز برای بررسی حالت اسپین الکترون، باید مختلط باشد. کتها، براها و عملگرها فضای کت فضای کت یک فضای برداری مختلط است که ابعاد آن بسته به ماهیت فیزیکی سیستم مورد بررسی، انتخاب میشود. -آزمایش اشترن – گرلاخ اسپین دوبعدی (هنگام عبور از دستگاه فقط دو مسیر ممکن است) - طیفهای پیوسته مکان یا تکانه ذره تعداد حالات ممکن غیرقابل شمارش فضای هیلبرت فضای برداری نامتناهی * هر حالت فیزیکی با یک بردار حالت در فضای برداری مختلط نشان داده میشود. چنین برداری را کت حالت گویند 28

29. کت حالت حاوی کلیه اطلاعات حالت فیزیکی تحت بررسی است. آیا و یک حالت فیزیکی یکسان را نشان میدهند؟ 29

30. هر مشاهده پذیر Observable، مانند ممانتوم و اسپین، به شکل یک عملگر Operator ، مانند A، در فضای برداریش نمایش داده میشود. عملگر همواره از چپ به کت حالت اثر میکند. 30

31. حالت فیزیکی متناظر با یک ویژه کت، ویژه حالت نامیده eigenstate میشود. 31

32. در حالت کلی فضای N بعدی متشکل از ویژه بردارهای عملگر نوعی A را میتوان به شکل زیر نوشت: فضای برا 32

33. ضرب داخلی برای حاصلضرب داخلی، یک بردار از فضای برا و یک بردار از فضای کت مورد استفاده قرار میگیرند. دوخاصیت اساسی ضرب داخلی 1- و مزدوج مختلط همند: 2- مقدار معین مثبت 33

34. کتهای متعامد: کتهای نرمالیزه: عملگرها: 34

35. اگر دو عملگر برابرند: جمع عملگرها جابجاپذیر و شرکت پذیرند(غیر از عملگر تحول زمانی): تمام عملگرهای مورد استفاده در این درس خطی هستند: 35

36. کت و برا در حالت کلی همزاد هم نیستند، بلکه داریم: عملگر هرمیتی: ضرب عملگرها: - جابجا پذیر نیست ولی شرکت پذیر است: 36

37. انواع ضرب: 37

38. قضیه شرکت پذیری: 1 2 38

39. اگر X عملگر هرمیتی باشد 39

40. قضیه: ویژه مقادیر یک عملگر هرمیتی حقیقی اند و ویژه کتهای متناظر با ویژه مقادیر متفاوت آن، متعامدند. چون عملگر هرمیتی است، میتوان نوشت: ( ) یا و یکی هستند: ویا نیستند: 40

41. دیدیم که ویژه کتهای نرمالیزه عملگر هرمیتی تشکیل یک مجموعه کامل اورتونرمال را میدهند. لذا هر کت دلخواه در فضای برداری کت را میتوان برحسب آنها بسط داد: رابطه کامل بودن 41

42. پس در رابطه اگر نرمالایز باشد داریم: 42

43. عملگر را روی اثر میدهیم، داریم: که در حقیقت تصویر بر روی کت پایه را میدهد. لذا به این عملگر، عملگر تصویر گویند. رابطه کامل بودن 43

44. برای یک عملگر هرمیتی داریم: 44

45. ضرب عملگرها: نمایش ماتریسی ضرب 45

46. 46

47. اگر ویژه کتهای عملگر A، پایه های فضای برداری باشند، ماتریس قطری است. 47

48. عملگر S z 48

49. دو عملگر زیر را که غیر هرمیتی هستند، معرفی میکنیم: ? 49

50. اندازه گیری ؟ 50

51. A careful analysis of the process of observation in atomic physics has shown that the subatomic particles have no meaning as isolated entities, but can only be understood as interconnections between the preparation of an experiment and the subsequent measurement. - Erwin Schrödinger (1887-1961) اندازه گیری 51

52. اندازه گیری Measurements It is impossible to determine into which eigenstate a given system will jump, but it is possible to predict the probability of such a transition. What is the probability that a system in some initial state makes a transition to an eigenstate of an observable, as a result of a measurement made on the system? Let us start with the simplest case. If the system is initially in an eigenstate then the transition probability to a eigenstate corresponding to a different eigenvalue is zero, and the transition probability to the same eigenstate is unity. It is convenient to normalize our eigenkets such that they all have unit norms. It follows from the orthogonality property of the eigenkets that 52

53. Can we use this correspondence to obtain a general rule for calculating transition probabilities(value of the inner product)? 53

54. فرض کنیم قبل از اندازه گیری روی مشاهده پذیر A، سیستم به شکل ترکیب خطی زیر نشان داده شود: electrons N S spin direction +z اندازه گیری معمولا حالت را تغییر می دهد مگر اینکه سیستم در یک ویژه حالت مشاهده پذیر قرار داشته باشد: 54

55. 55

56. با وجود اینکه ما از یک سیستم تنها صحبت میکنیم، برای تعیین احتمال عملا باید تعداد زیادی اندازه گیری بر روی مجموعه ای از سیستمهای فیزیکی یکسان که دارای کت حالت یکسان هستند، صورت دهیم. چنین مجموعه ای را Pure ensemble گویند. با توجه به رابطه فوق، اگر سیستم ابتدا در یک ویژه کت مشاهده پذیر قرار داشته باشد، ، احتمال یافتن سیستم در برابر یک است. توجه: حتما باید اندازه گیریهای فوق به صورت پی در پی انجام گیرد. (تحول زمانی) همینطور احتمال یافتن سیستم در یک ویژه حالت دیگر مثل صفر است. *احتمال نباید منفی باشد* 56

57. Expectation value Expectation value & eigenvalues? 57

58. 58

59. N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Block N S SGz SGx+ SGx- SGz+ SGz- احتمال 0.5 حقیقی 59

60. تعامد عملگرهرمیتی: به همین ترتیب میتوان نوشت: 60

61. چگونه میتوان فازها را تعیین کرد؟ N S SGz SGz+ SGz- Block N S SGx Block SGx+ SGx- N S SGy 61

62. نتیجه: همه مولفه های ماتریسی Sx و Sy نمیتوانند حقیقی باشند. اگر مولفه های یکی حقیقی است، دیگری حتما موهومی است. ? 62

63. توجه: فاز نسبی دارای اهمیت است تعریف: رابطه جابجایی: اصل طرد پاولی!! 63

64. تعریف: 64

65. Compatible Observables رابطه بین ویژه کتهای دو مشاهده پذیر سازگار چیست؟ تبهگنی؟ Degeneracy اگر A و B سازگار باشند، یک فضای کت مشخص را میتوان هم با ویژه کتهای A و هم با ویژه کتهای B پوشش داد. 65

66. مولفه های ماتریسی: 66

67. عملگر B در پایه های ویژه کتهای عملگر A قطری نیست ولی میتوان ترکیب خطی از این ویژه کتها پیدا کرد که آنرا قطری کنند. نتیجه؟ 67

68. 68

69. اصل عدم قطعیت هایزنبرگ!! مشاهده پذیرهای ناسازگار داری ویژه کتهای همزمان نیستند. 69

70. 70

71. احتمال بدست آوردن از در عبور از ها. 71

72. 72

73. 73

74. The Heisenberg Uncertainty Principle ثابت کنید برای هر حالتی میتوان نوشت: 74

75. 75

76. اثبات: سمت راست رابطه بالا: 76

77. 77

78. برای دو مشاهده پذیر ناسازگار، فضای کت مورد نظر میتواند با ویژه کتهای یکی یا دیگری پوشش داده شود. ارتباط بین این دو توصیف (نمایش) چیست؟ تغییر مجموعه کتهای پایه: 78

79. 79

80. شبیه ماتریس دوران در سه بعد: با معلوم بودن ضریب بسط در یک پایه، ضریب بسط در پایه دیگر چیست؟ یعنی ماتریس ستونی برای یک کت در پایه های جدید فقط با اعمال ماتریس مربعی به ماتریس ستونی در پایه های قدیمی حاصی شود: 80

81. مثال1: اسپین 81

82. 82

83. مثال2: اسپین 83

84. رابطه بین مولفه های ماتریسی قدیم و جدید: مستقل از نمایش: 84

85. تمرین 85

86. 86

87. 87

88. 88

89. Diagonalization اگر مولفه های ماتریسی یک عملگر را در پایه هایی غیر از ویژه کتهای عملگر بدانیم، چگونه میتوان پایه هایی را پیدا کرد که درآن قطری باشد؟ 89

90. ها همان مقادیر ویژه ،b j ، هستند. 90

91. مثال: 91

92. 92

93. مثال: ماتریس روبرو را قطری کنید 93

94. Unitary Equivalent Observables دو مشاهده پذیر را زمانی Unitary Equivalent Observables گویند که دارای مجموعه مقادیر ویژه یکسان باشند. 94

95. مثال: 95

96. Continuous spectra 96