1. كنترل غير خطي جلسه دوم : شروع بحث نماي فاز (phase plane) سجاد ازگلي

2. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 2ص 2 ص 2ص 2

3. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز System model in general Dynamical systems, modeled by a finite number of coupled first-order NL ODE’s: t : time, : state variables : input variables Using vector notation: The measurements eq.: y : the vector of output variables. پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 3ص 3 ص 3ص 3

4. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز System model in general Unforced or Closed-Loop NL Systems no input to the system OR input u, generated by feedback, => Autonomous = Time Invariant پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 4ص 4 ص 4ص 4

5. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Equilibrium Point The system state is at equilibrium point x* if ▫ start at x* => remains at it OR ▫ states reach to x* at steady state For an autonomous system x* is the real root of Nonlinear function may have  No roots  No Eq. Point.  Many roots  Multiple Eq. Points. Isolated Equilibrium Point There are no other Eq. point at vicinity of x* پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 5ص 5 ص 5ص 5

6. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Linear System state space equations have the special form: If the system matrices are also time invariant  LTI Transfer function representation پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 6ص 6 ص 6ص 6

7. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 7ص 7 ص 7ص 7

8. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Phase Plane Analysis Is: to generate motion trajectories of a 2nd order system in state space  phase portrait How? ▫ 2nd order autonomous system  ▫ x 1 (t), x 2 (t): the solution to the above equations ▫ Eliminate time and plot x 1 vs x 2  phase trajectory ▫ Plot several phase trajectories for different initial conditions Why important in analysis? ▫ Visualization ▫ No need to solve NL ODEs ▫ No matter what kind of NL it is (hard, …) ▫ Dominant dynamics of many real systems is 2 nd order پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 8ص 8 ص 8ص 8

9. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Example: mass-spring system System dynamics Initial condition Analytic solution Eliminate t : phase portrait  A major class of 2 nd order systems:  پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 9ص 9 ص 9ص 9

10. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Singular Points An Eq. point is called a singular point !!? Why? ▫ The slope of curves at any point: ▫ phase portrait has only one specific slope at any definite point  phase portraits does not intersect  They can intersect only at eq. or singular points پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 10

11. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Example پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 11 Separatix

12. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز  Phase plane analysis, introduction پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 12

13. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Phase Portrait Construction Analytic method Method of isoclines Delta method Lienard’s method Pell’s method Method of adjoint solutions Numerical Simulation پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 13 Reference: Nonlinear Control Systems Z. Vukic, L. Kuljaca, D. Donlagic, S. Tesnjak 2003

14. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Phase Portrait Construction Analytic method 1)Solve NL ODEs for x 1 ( t ) and x 2 ( t ), then eliminate t 2)Directly eliminate time, considering that and solving this equation پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 14

15. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Phase Portrait Construction Analytic method – example: mass spring system The system model: considering, we have after integration پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 15

16. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز  Phase plane analysis, introduction  Phase Portrait Construction Analytic method پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي o Method of isoclines ص 16

17. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Numerical Simulation Numerically solve and plot the phase portrait for different initial conditions remarks: ▫ Selection of limits ▫ Selection of the initial points  Near stable equilibrium points:  Solve the state space equation reverse in time  Near Unstable equilibrium points:  Solve the state space equation forward in time پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 17

18. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Numerical Simulation Example: Pendulum with Viscous Friction پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي Separatix ص 18

19. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Numerical Simulation Example: Van der Pol Equation پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 19

20. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Numerical Simulation The method of Vector Fields At any point x=(x 1,x 2 ) Plot the tangent vector to the slope of f(x) = (f1,f2) For many points UUse Computer visualization (Matlab 2D and 3D visualization) پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 20

21. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Numerical Simulation The method of Vector Fields ▫ Computer visualization (3D coneplot) پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 21

22. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز  Phase plane analysis, introduction  Phase Portrait Construction Analytic method Numerical solution پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 22

23. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Method of isoclines Isocline : locus of the points with a given tangent slope ▫ Example: unit mass spring  System state eq. Trajectory slopes  Isoclines: (constant slope  )  Plot isoclines for different  ’s  Plot the trajectory using the isoclines پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 23

24. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Method of isoclines Example: Pendulum without friction System state eq. Trajectory slopes ▫ Isoclines پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 24

25. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Method of isoclines Example: Pendulum with friction پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 25

26. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Method of isoclines Example: Van der Pol Eq. ▫ System state eq. ▫ Trajectory slopes ▫ Isoclines (  = 1) پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 26

27. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز  Phase plane analysis, introduction  Phase Portrait Construction Analytic method Numerical solution Method of isoclines پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي  Phase plane analysis for Lin. Systems  Phase plane analysis for NL. Systems o Limit cycle study using phase portrait ص 27

28. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Review of the previous lecture Autonomous = TI equilibrium point: ▫ start at it => remain at it OR reach to it at steady state ▫ For autonomous: phase trajectory, phase portrait singular point = Eq. point, Why? unique slope except at sing. Isocline : locus of the points with a given tangent slope پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 28

29. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز  Introduction to Phase plane analysis  Phase Portrait Construction Analytic method Numerical solution Method of isoclines پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي  Phase P. Anal. for Lin. Sys.  Phase plane analysis for NL. Systems o Behavior in vicinity of equilibria o Multiple equilibria o Limit cycle, Definition, Types, Existence Theorems ص 29

30. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System State space representation (unforced – autonomous) Solution whit initial state = x 0 J r : the Jordan form of A, M : the similarity transform State transformation: پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 30

31. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Jordan forms (depending on the eigenvalues of A): => There are 4 cases and some sub-cases پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 31

32. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Case 1: ▫ In this case (eigenvectors) ▫ Eliminate t: in which Case 1: (a)  in z in x پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 32

33. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Case 1: (b) Case 1: (c) پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 33

34. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Case 2: ▫ State Eq.: ▫ In polar coordinates Phase portrait = A logarithmic spiral (in z plane) پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 34

35. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Case 2: In z: In x: “Stable Focus” “Unstable Focus” “Center” مركز كانون ناپايدار كانون پايدار پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 35

36. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Case 3: ▫ For initial condition ▫ Eliminate t: پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 36

37. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز Case 3: “Stable Node” “Unstable Node” P.P. Analysis for Lin. System پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 37

38. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Case 4 (a): ▫ Matrix A has nontrivial nullspace. Any vector in the null space of A is an eq. point. ▫ Multiple but nonisolated equilibrium points. ▫ State eq.: ▫ The solution: پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 38

39. جلسه دوم: تحليل در نماي فاز P.P. Analysis for Lin. System Case 4 (b): ▫ State Eq.: ▫ The solution: پاييز هشتاد و نه، دانشكده برق و كامپيوتر، دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي - سجاد ازگلي ص 39