1. 1.(p  q) 2. (r  s) 3. p v r  q v s 4. (p  q)  (r  s) conj. 1,2 5. q v sC.D. 3,4

2. 1. p  q 2. q  s 3. s  m 4. p  m 5.qm.p. 1,4 6. s m.p. 2,5 7. mm.p. 3,6

3. 1. p  q 2. q  r  p  ( p  r) 3. p  r H.S. 1,2 4. p  ( p  r) Abs. 3

4. 1. p  q 2. q  m 3. m  k 4. k  s 5. ~s v n 6. ~n  ~p v (n  k) 7. ~s d.s. 5, 6 8. ~k m.t. 4, 7 9. ~m m.t. 3, 8 10. ~qm.t. 2, 9 11. ~pm.t. 1, 10 12. ~p v (n  k) add 11

5. 1. j  k 2. k v m 3. (m  ~j)  (~q  k) 4. ~k  ~q 5. m d.s. 2, 4 6. ~j m.t. 1, 4 7. m  ~j conj. 5, 6 8. ~q  km.p. 3, 7 9. ~qSimp. 8

6. 1. a  b 2. b  c 3. k  m 4. a v k 5. ~c  m 6. a  c h.s. 1, 2 8. c v mc.d. 7,4 9. m d.s. 8, 5 7. (a  c) (k  m ) Conj. 6, 3

7. 1. a  b 2. a v (c  d) 3. ~b  ~e  c 4. ~b Simp. 3 5. ~a m.t. 4, 1 6. c  d d.s. 2,5 7. cSimp. 6

8. 1. w  x 2. (w  x)  y 3. (w  y)  z  w  (w  z) 5. w  (w  x ) abs. 1 6. w  y h.s 5,2 7. w  (w  y) abs. 6 8. w  z h.s. 7,3 9. w  (w  z) Abs. 8

9. 1. (n v o)  p 2. (p v q)  r 3. q v n 4. ~q  r 5. n d.s. 3,4 6. n v o Add. 5 7. p m.p. 6, 1 8. p v qAdd. 7 9. rm.p. 2,8

10. Now we add the Equivalence Rules

11. 1. ~p v q 2. ~(q v m)  ~p 3. p  q Material Implication 1 4. ~q  ~m De Morgen’s 2 5. ~q Simp. 4 6. ~pM.T. 3, 5

12. 1. (p  q)  r 2. ~p v q 3. (z  p)  (r v s) v (z  p) 4. p  q Material Implication 2 5. rm.p. 4, 5 6. r v sAdd. 5 7. (r v s) v (z  p) add. 6

13. 1. (h  i)  (j  k) 2. (i v k)  L 3. ~ L  ~(h v j) 4. ~(i v k)m.t. 2, 3 5. (h  i) Simp. 1 6. ~i  ~k DeMorgan’s 4 7. ~i Simp. 6 8. ~h m.t. 7, 5 9. ~k  ~i Commutation 6 10. ~k Simp. 9 11. (j  k)  (h  i) Commutation 1 12. (j  k) Simp. 11 13. ~j m.t. 10, 12 14. ~j  ~h Conj. 13, 8 15. ~h  ~j Comm. 14 16. ~(h v j) De Morgan’s 15

14. 1. (k v p) v x 2. k  ~o 3. (p v x)  ~l  ~(o  l) 4. k v (p v x)Association 1 5. ~o v ~l C.D. 4,2,3 6. ~(o  l) De Morgan’s 5

15. 1. ~(~p  q) 2. ~q  r 3. p  ~s  r v ~s 4. ~(~p  ~~q) Double negation 1 5. ~~(p v ~q) DeMorgan’s 4 6. p v ~q d.n. 5 7. ~s v r C.D. 2,3,6 8. r v ~s Commutation 7

16. 1. ~b 2. ~(c  b)  c 3. ~ g  ~c  g 4. ~b v ~cAdd. 1 5. ~c v ~b Comm. 4 6. ~(c  b) DeMorgan’s 5 7. c m.p. 2, 6 8. c  g Contraposition (Transposition) 3 9. g m.p. 7, 8

17. 1. p  q 2. ~(p v m)  ~(z  k) 3. ~m 4. ~q  ~ z v ~ k

18. 1. b  e 2. ~m v g 3. (b  c)  d 4. (d  c)  m  e  g