0. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB
Chap.6 Matched Filter and the Radar Ambiguity Function
6.4 ~

1. 6.4 The Radar Ambiguity Function
The radar ambiguity function (|χ|2) represents the output of the matched filter, and it describes the interference caused by range and/or Doppler of a target when compared to a reference of equal RCS.
χ(τ;fd)=χ(0;0) is equal to the matched filter output that is matched perfectly to the signal reflected from the target of interest. (=returns from the nominal target are located at the origin of the ambiguity function.)
χ(τ;fd)=χ(nonzero; nonzero) represents returns from some range and Doppler different from those for the nominal target.

2. 6.4 The Radar Ambiguity Function (cont’d)
Matched filter response: χ(τ;fd) - obtained by correlating a signal with its doppler-shifted and time- translated version. uncertainty function: |χ(τ;fd)| ambiguity function: |χ(τ;fd)|2

3. 6.4 The Radar Ambiguity Function (cont’d)
Properties of Ambiguity function
1. The maximum value occurs at (0;0).
2. The ambiguity function is symmetric.
3. The total volume under the ambiguity function is constant.
4. s(t)↔S(f), using Parseval’s theorem,

4. 6.5 Examples of the Ambiguity Function
The ideal radar ambiguity function is represented by a spike of infinitesimal width that peaks at the origin and is zero everywhere else.
6.5.1 Single Pulse Ambiguity Function
Normalized rectangular pulse s(t)

5. 6.5.1 Single Pulse Ambiguity Function (cont’d)
단, τ 는 time delay 및 τ’는 pulse width.
τ’= 2 single pulse uncertainty function

6. τ’= 2 single pulse ambiguity function
Zero Doppler ambiguity function Zero Delay ambiguity function
First null at fd=±1/τ’

7. 6.5 Examples of the Ambiguity Function (cont’d)
6.5.2 LFM Ambiguity Function
LFM complex envelop signal s(t) 단, μ=LFM 신호의 slope((Δf or B)/τ’)
i) 0≤τ≤τ’인 경우 적분 범위는 [-τ’/2, τ’/2+τ]
ii) -τ’≤τ≤0 인 경우 적분 범위는 [-τ’/2-τ, τ’/2]
LFM 의 ambiguity function

8. 6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)
up-chirp (τ’= 2, B = 10 Hz LFM uncertainty/ambiguity function)

9. 6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)
down-chirp (τ’= 2, B = 10 Hz LFM uncertainty/ambiguity function)

10. 6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)
Zero Doppler ambiguity function Zero Delay ambiguity function
first null at τn1≈1/B. 이로부터 matched filter 의 출력은 레이더의 대역폭에 의해 결 정됨. (τn1: effective pulse width; compressed pulse width)
시간축을 따라 자른 그래프인 Zero Doppler ambiguity function 은 single pulse case와 비교했을 때 큰 차이를 보임. (Zero Delay 그래프는 형태가 비슷)

11. 6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)
LFM ambiguity function 의 zero doppler ambiguity function 는 single pulse 에 대해 ξ 의 비율로 가늘어짐. 단, ξ는 compression ratio; time-bandwidth product; compression gain.
Bandwidth 가 넓을 수록 compression ratio 는 커지며 null point 발생 지점이 time delay 가 0 과 가까워진다.
Example 6.2: pulse compression 전/후의 거리 분해능 bandwidth B = 1 GHz; pulse width τ’= 10ms. pulse compression 전의 거리 분해능 pulse compression 후의 compressed pulse width 및 거리 분해능

12. 6.5 Examples of the Ambiguity Function
6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function
Normalized individual pulse s(t) Normalized train t1=t-iT 로 치환하면
pulse width: τ’, PRI: T
χ1[τ-(i-j)T;fd]

13. 6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function (cont’d)
q = i - j 로 치환하여
exp(j2πfdT) 를 z 라 치환하여 아래의 관계식을 이용하여 쓰면
χ(τ;fd) 식에 대입하면

14. 6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function (cont’d)
τ’= 0.2, n = 5, PRI = 1 (coherent pulse train uncertainty/ambiguity function)

15. 6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function (cont’d)
Zero Doppler ambiguity function Zero Delay ambiguity function

16. 6.6 Ambiguity Diagram Contours
Ambiguity Diagram? Ambiguity Function plots.
한 신호파형에 대해 주어진 ambiguity diagram 은 target resolution capability, measurements accuracy 등을 결정짓는데 사용됨.
그림 6.9: single pulse 에 대한 ambiguity contour plot. - long pulse: better Doppler accuracy - short pulse: better range accuracy
Contour plot 에 다수의 타원은 다수의 타겟을 의미.
Ambiguity function threshold 값을 증가시 켜 radar resolution 개선 가능 → 실제 적용시 문제 발생; 잡음 존재시 peak correlation 값을 알기 어려움 & 타겟에서 반 사되는 신호의 크기가 모두 다름.

17. 6.6 Ambiguity Diagram Contours (cont’d)
Coherent Pulse train: pulse width 에 의해 range accuracy 가 결정되고, train length 에 의해 Doppler accuracy 가 결정됨. (low PRF = high range accuracy, low Doppler accuracy/ high PRF = low range accuracy, high Doppler accuracy)
true targets

18. 6.6 Ambiguity Diagram Contours (cont’d)
LFM ambiguity contour τ’: pulse width, B: pulse bandwidth

19. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB
Chap.7 Pulse Compression
7.1 ~ 7.2

20. 7. Pulse Compression
Range resolution 은 매우 짧은 펄스를 이용하면 크게 향상이 가능. 그러나 매우 짧은 펄스를 사용하게 되면 평균 송신 전력이 감소하게 되고 이는 SNR 에 직결 되기 때문에 range resolution 에도 불구하고 펄스 너비를 크게 해야 할 필요가 있음.
이 경우 사용하는 것이 pulse compression techniques.
7장에서는 두 가지 방법에 대해 소개 - correlation processing: narrowband 및 medium band radar 에서 사용 - stretch processing: extremely wide band radar 에서 사용

21. 7.1 Time-Bandwidth Product
Matched filter 수신기를 사용하는 레이더 시스템이 있다고 하고, 필터의 대역폭을 B 라 할 때 이 대역 내의 available noise power 는 단, 2 는 +, - 주파수 대역을 모두 고려하기 위함임.
Pulse duration 동안 평균 입력 신호 전력은 단, E 는 signal energy
Matched filter input SNR:

22. 7.2 Radar Equation with Pulse Compression
Pulsed radar 의 SNR 단, Pt: peak power, τ’: pulse width, G: antenna gain, σ: target RCS, R: range, k: Boltzmann’s constant, Te: effective noise temperature, F: noise figure, L: total radar loss.
Pulse compression radar 는 상대적으로 긴 변조된 펄스를 송신하며 레이더 에코를 매우 짧은 펄스로 처리(compressed)함.
compressed pulse width 를 τc 라 할 때 SNR 은 uncompressed pulse 의 SNR
위 두 식으로부터 송신 펄스가 동일하다면 신호의 대역폭에 관계없이 SNR 또한 변하지 않음을 알 수 있다.